TABLA DISTRIBUCION STUDENT

TABLA DISTRIBUCION STUDENT

UNIDAD 4: ESTIMACIÓN ESTADISTICA

ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Resolver problemas prácticos aplicando la probabilidad básica.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Realizar estimaciones de medias y proporciones con la distribución normal y la distribución student.

JUSTIFICACIÓN:

Hasta ahora hemos visto el diseño de distribuciones sobre la media y la proporción de una población, calculando estimadores puntuales, Sin embargo es necesario analizar otro tipo de estimación, por intervalo. Esta estimación expresa la amplitud dentro de la cual probablemente se encuentre un parámetro poblacional

CONTENIDO:

Al intervalo dentro del cual se espera esté un parámetro poblacional se le denomina intervalo de confianza. Con frecuencia se emplean 3 intervalos el 90%,  95% y el 99%

La interpretación esta dada por la probabilidad de que al repetir el estudio los intervalos definidos contendrán el parámetro con un  % de confianza determinado. De acuerdo a lo anterior no todo intervalo contiene al parámetro poblacional y no exactamente dicho parámetro estará en el % de los intervalos fijado.

El conocimiento de la distribución de medias permite hacer afirmaciones probabilistas acerca del error de muestreo, aunque no se conozca el promedio poblacional. Al determinar el  error estándar de la media y fijar el intervalo de confianza definimos la probabilidad de que la media de una muestra origine un error muestral igual o menor. En otras palabras hay una probabilidad 1- α  de que el valor de la media de muestra origine un error muestral de z_a/2 o menos  

ESTIMACIÓN DE MEDIAS PARA MUESTRAS GRANDES

Dependiendo de si se conoce el valor de s o s se emplean las siguientes relaciones 

Como regla antes de seleccionar la muestra para determinar un estimado de intervalo de la media de población se debe especificar el coeficiente deseado de confianza (1- α)

ESTIMACIÓN DE MEDIAS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS

Para el caso de una muestra pequeña ( n<30)  la distribución del promedio depende del tipo de distribución de la población. Si existen antecedentes de que la población no tiene una distribución normal se recomienda aumentar el tamaño de la muestra (teorema del límite central). Si la población tiene distribución normal  con desviación estándar  poblacional conocida el cálculo del intervalo se realiza según la siguientes expresion:

Ahora, si este parámetro no es conocido es necesario usar la desviación estándar muestral y calcular el intervalo de confianza utilizando una distribución llamada t. El inventor de la distribución t fue William Sealy Gosset, cuyo pseudónimo era Student.

La distribución t es una distribución parecida a la normal, que depende de los llamados grados de libertad. Este parámetro corresponde a n-1, siendo n el tamaño de la muestra. A medida que los grados de libertad aumentan la distribución t se aproxima  una normal. Otra similitud es que en ambas el promedio de la distribución es 0.

ESTIMACIÓN PARA LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN

Siempre que np o n(1-p) sea >5 el empleo de la distribución normal de probabilidades es aplicable para el cálculo de un estimador, en este caso de intervalo. El razonamiento empleado en la estimación del intervalo de la media es aplicable en este caso para determinar el error muestral asociado a proporción muestral con respecto a la poblacional

En la práctica cuando necesitemos tener una aproximación del parámetro poblacional, p, se pueden elegir los siguientes procedimientos:

1. Usar un estimador de una muestra anterior de las misma unidades

2. Hacer un estudio piloto para seleccionar una muestra preliminar de unidades

3. Usar juicio o un estimado mejor del valor de p

4. Si no se aplica alguna alternativa  usar p=0.5

 La decisión de la fórmula a utilizar, se resume en el siguiente diagrama de flujo:

ACTIVIDADES: Resuelva los siguientes ejercicios

ESTIMACIÓN DE MEDIA

1.   Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de automóvil. Se sabe que el diámetro del anillo esta distribuido aproximadamente de manera normal, y que tiene una desviación estándar = 0.001 mm. Una muestra aleatoria de 15 anillos tiene un diámetro promedio de 74.036 mm.

a.    Estime con una confianza del 99%  el diámetro promedio del anillo.

b.    Estime con una confianza del 95%  el diámetro promedio del anillo.

2. Se sabe que la duración, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución aproxima­damente normal, con una desviación estándar de   25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 30 focos, la cual resulta tener una duración promedio de 1014 horas.

a.    Construya un intervalo de confianza del 95% para la duración promedio.

3.    En un estudio hecho para  determinar el tiempo medio necesario para el montaje de cierta pieza de una maquina, 40 trabajadores hicieron un promedio de 42.5 minutos con una desviación típica de 3.8 minutos:

Usar los datos para estimar con una  confianza de   98% el tiempo promedio verdadero necesario para montar la maquina.

4.    Para tratar de estimar la media de consumo por cliente, en un gran restaurante, se reunieron datos de una muestra de 49 clientes durante un periodo de tres semanas. Si la media de la muestra es de $ 22.60 dólares, con desviación estándar de $ 3 dólares, y además se sabe que el total de clientes de de 310, ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de la población?

5.    Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil en la ciudad de Bogotá indica que los automóviles recorren anualmente en promedio   25 000 kilómetros con una desviación estándar de 4000 kilómetros. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 95% para el verdadero recorrido promedio anual.

ESTIMACIÓN DE PROPORCIONES

      6.    En una determinada población se toma una muestra al azar de 256 Personas. De esta muestra, el 20% de las personas lleva gafas graduadas y el resto no. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional de las personas que llevan gafas graduadas para un nivel de confianza del 95%.

      7.    Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas 

      8.    En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales.

      9.    Imaginemos que hemos tomado una muestra aleatoria de 500 personas, y que les preguntamos si creen que el Presidente debe dimitir, obteniendo el SÍ  un 70%. Estime con una confianza del 90% el porcentaje   de toda la población que diría SÍ. 

     10.    Una fábrica desea saber la proporción de amas de casa que preferirían una aspiradora de su marca. Se toma al azar una muestra de 120 amas de casa y 20 dicen que les gustaría la máquina. Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha aspiradora.

EJERCICIOS MIXTOS

    1.       

           1. Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una marca determinada dio un contenido promedio de nicotina de 3 miligramos. Suponga que el contenido de nicotina de estos cigarrillos sigue una distribución normal con una desviación estándar de 1 miligramo. Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95% para el verdadero contenido promedio de nicotina en estos cigarrillos.

           2. El tiempo (en minutos) que tardaron 36 operarios para familiarizarse con el manejo de una máquina moderna adquirida por la empresa fue: 3.4, 2.8, 4.4, 2.5, 3.3, 4.0, 4.8, 2.9, 5.6, 5.2, 3.7, 3.0, 3.6, 2.8, 4.8, 5.0, 3.9, 5.6, 8,4, 6.3, 5,4, 2.5, 6.3, 7.4, 5.3, 3.9, 5.5, 6.0, 6.4, 5.4, 6.6, 7.2, 4.9, 5.8, 6.5, 7.9,  Suponga que los tiempos se distribuyen normalmente. Determine e interprete un intervalo del 95% de confianza para el verdadero tiempo promedio. 

           3.  Una fábrica desea saber la proporción de amas de casa que preferirían una aspiradora de su marca. Se toma al azar una muestra de 100 amas de casa y 20 dicen que les gustaría la máquina. Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha aspiradora.

    4.    4. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60 ladrillos cuyo peso medio es de 4,07 kilos. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.

    5.      5. Una compañía quiere conocer la proporción de consumidores que adquieren su producto. Encarga a una empresa un estudio de mercado para obtener un intervalo de confianza al 99% de su proporción de clientes a partir de una muestra de tamaño 1000. Los resultados Muestrales arrojaron que 740 de los entrevistados eran clientes de su producto.    6. Se quiere estimar el resultado de un referendum mediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple con n = 100 personas y se obtienen 35% que votarán a favor y 65% que votarán en contra. Con un nivel de confianza del 97 %, calcule un intervalo de confianza para el verdadero resultado de las elecciones.                                     7. El gerente de una empresa que comercializa cerdos desea estimar el peso promedio de los animales a las 25 semanas de edad. Para hacerlo toma una muestra de 34 cerdos. Los datos en libras fueron

56, 48, 59, 66, 44, 60, 70, 68, 73, 51, 55, 65, 48, 73, 50, 55, 56, 49, 78, 56

66, 60, 62, 63, 58, 51, 71, 75, 65, 55, 43, 46, 70, 60,

Realice la estimación con un 95% de confianza                                                                        8. En una muestra aleatoria de 65 personas, de un total de 250 que laboran en las oficinas gubernamentales, se encontró que 28 sufren estrés. Estimar el porcentaje de empleados gubernamentales que sufren estrés, con un 94% de confianza. 

    9.    9. El enorme crecimiento de la industria de la langosta de florida en los últimos 20 años, la ha colocado en el segundo lugar de la industria pesquera del estado. Hace algunos anos se supuso que una declaración por el gobierno de las Bahamas que prohibía a los pescadores de langostas de estados unidos operar en la parte de la plataforma continental perteneciente a ese país, reduciría notablemente la cantidad de langosta (en libras) obtenida por trampa. Para estimar, la captura pro­medio por trampa se selecciona una muestra aleatoria de 20 trampas para langostas, desde que la restricción por parte de Bahamas entro en vigor, dio los siguientes resultados (en libras):

17.4	18.9	39.6	34.4	19.6	33.7	37.2	43.4	41.7	27.5
24.1	39.6	12.2	25.5	22.1	29.8	21.7	25.8	43.9	34.4

Realizar la estimación con un 99% de confianza. Suponga que el peso de las langostas se comporta normalmente 

10. Una muestra aleatoria de 50 bicicletas, tomada de un lote de 400, revela que 17 de ellas tienen los neumáticos desinflados. Estime con un 90% de confianza la proporción de bicicletas con neumáticos desinflados.

ESTIMACION CON STUDENT

      1.    La cantidad de horas que duermen los estadounidenses cada noche varÍa mucho. Consideremos la siguiente muestra de las horas que duermen cada noche 16 personas.

Calcula una estimación con un 90% de confianza para la media de horas que se duerme cada noche.

  

      2.    un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de una fibra. diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura, en libras de  16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. las tensiones son: 20.8  20.6  21.0  20.9  19.9  20.2  19.8 19.6  20.9  21.1  20.4  20.6  19.7  19.6  20.3  y  20.7. estime la tensión promedio de las fibras con una confianza del 99%

 3.    una muestra de 9 frascos de café instantáneo, seleccionados de un proceso de producción, dio los siguientes resultados para el contenido, medido en gramos: 285, 291, 265, 270, 279, 288, 290, 279, 287. estime con un 95% de confianza el peso neto de los frascos de café instantáneo

4.    en un barrio de la ciudad se efectúa un muestreo para determinar la proporción de familias que poseen un televisor a colores. la muestra de tamaño 25 indica que 18 tienen tv a colores. realice la estimación con un 90% de confianza

5.    el gerente de una empresa que comercializa cerdos desea estimar el peso promedio de los animales a las 25 semanas de edad. para hacerlo toma una muestra de 15 cerdos, obteniéndose un peso promedio de 84 kilos y desviación estándar de 5 kilos. realice la estimación con un 99% de confianza

6.    una muestra aleatoria de 28  bicicletas, tomada de un lote de 400, revela que 7 de ellas tienen los neumáticos desinflados. estime con un 99% de confianza la proporción de bicicletas con neumáticos desinflados.