ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
COMPETENCIAS A DESARROLLAR
Resolver problemas prácticos aplicando la
probabilidad básica.
CRITERIOS DE
Realizar estimaciones de medias y proporciones con la distribución normal y la distribución student.
JUSTIFICACIÓN:
Hasta ahora hemos visto el diseño de
distribuciones sobre la media y la proporción de una población, calculando
estimadores puntuales, Sin embargo es necesario analizar
otro tipo de estimación, por intervalo. Esta estimación expresa la amplitud
dentro de la cual probablemente se encuentre un parámetro poblacional
CONTENIDO:
Al
intervalo dentro del cual se espera esté un parámetro poblacional se le
denomina intervalo de confianza. Con
frecuencia se emplean 3 intervalos el 90%, 95% y el 99%
La
interpretación esta dada por la probabilidad de que al repetir el estudio los
intervalos definidos contendrán el parámetro con un % de confianza determinado. De
acuerdo a lo anterior no todo intervalo contiene al parámetro poblacional y no
exactamente dicho parámetro estará en el % de los intervalos fijado.
El
conocimiento de la distribución de medias permite hacer afirmaciones probabilistas acerca del error de muestreo, aunque no se conozca el promedio
poblacional. Al
determinar el error estándar de la media
y fijar el intervalo de confianza definimos la probabilidad de que la media de
una muestra origine un error muestral igual o menor. En
otras palabras hay una probabilidad 1- α de que el valor de la media de muestra
origine un error muestral de za/2 o menos
ESTIMACIÓN DE MEDIAS PARA MUESTRAS GRANDES
Dependiendo
de si se conoce el valor de s o s se emplean las
siguientes relaciones
Como
regla antes de seleccionar la muestra para determinar un estimado de intervalo
de la media de población se debe especificar el coeficiente deseado de
confianza (1- α)
ESTIMACIÓN DE MEDIAS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS
Para el
caso de una muestra pequeña ( n<30) la distribución del promedio depende del
tipo de distribución de la población. Si
existen antecedentes de que la población no tiene una distribución normal se
recomienda aumentar el tamaño de la muestra (teorema del límite central). Si la
población tiene distribución normal con
desviación estándar poblacional conocida
el cálculo del intervalo se realiza según la siguientes expresion:
Ahora, si este parámetro no es conocido es necesario usar la desviación estándar
muestral y calcular el intervalo de confianza utilizando una distribución
llamada t. El
inventor de la distribución t fue William Sealy Gosset, cuyo pseudónimo
era Student.
La
distribución t es una distribución parecida a la normal, que depende de
los llamados grados de libertad. Este parámetro corresponde a n-1,
siendo n el tamaño de la muestra. A
medida que los grados de libertad aumentan la distribución t se
aproxima una normal. Otra similitud es
que en ambas el promedio de la distribución es 0.
ESTIMACIÓN PARA LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN
Siempre
que np o n(1-p) sea >5 el empleo de la distribución normal de probabilidades
es aplicable para el cálculo de un estimador, en este caso de intervalo. El
razonamiento empleado en la estimación del intervalo de la media es aplicable
en este caso para determinar el error muestral asociado a proporción muestral
con respecto a la poblacional
En la
práctica cuando necesitemos tener una aproximación del parámetro poblacional,
p, se pueden elegir los siguientes
procedimientos:
1. Usar un
estimador de una muestra anterior de las misma unidades
2. Hacer
un estudio piloto para seleccionar una muestra preliminar de unidades
3. Usar
juicio o un estimado mejor del valor de p
4. Si no
se aplica alguna alternativa usar p=0.5
La decisión de la fórmula a utilizar, se resume en el siguiente diagrama de flujo:
ACTIVIDADES: Resuelva los siguientes ejercicios
ESTIMACIÓN DE MEDIA
1. Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de
automóvil. Se sabe que el diámetro del anillo esta distribuido aproximadamente
de manera normal, y que tiene una desviación estándar = 0.001 mm. Una muestra
aleatoria de 15 anillos tiene un diámetro promedio de 74.036 mm.
a. Estime con una confianza del 99%
el diámetro promedio del anillo.
b. Estime con una confianza del 95%
el diámetro promedio del anillo.
2. Se sabe que la duración, en horas, de un foco de 75 watts tiene una
distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de
30 focos, la cual resulta tener una duración promedio de 1014 horas.
a. Construya un intervalo de confianza del 95% para la duración promedio.
3.
En un estudio hecho para determinar el tiempo medio necesario para el
montaje de cierta pieza de una maquina, 40 trabajadores hicieron un promedio de
42.5 minutos con una desviación típica de 3.8 minutos:
Usar los datos para estimar con una
confianza de 98% el tiempo
promedio verdadero necesario para montar la maquina.
4.
Para tratar de estimar la media de consumo por
cliente, en un gran restaurante, se reunieron datos de una muestra de 49
clientes durante un periodo de tres semanas. Si la media de la muestra es de $
22.60 dólares, con desviación estándar de $ 3 dólares, y además se sabe que el
total de clientes de de 310, ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la
media de la población?
5.
Una muestra aleatoria de 100 propietarios de
automóvil en la ciudad de Bogotá indica que los automóviles recorren anualmente
en promedio 25 000 kilómetros con una
desviación estándar de 4000 kilómetros. Calcule e interprete un intervalo de
confianza del 95% para el verdadero recorrido promedio anual.
ESTIMACIÓN DE PROPORCIONES
6.
En una determinada población se toma una muestra
al azar de 256 Personas. De esta muestra, el 20% de las personas lleva gafas
graduadas y el resto no. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la
proporción poblacional de las personas que llevan gafas graduadas para un nivel
de confianza del 95%.
7. Un fabricante de
reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para
evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos
compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra
aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más
pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los
reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las
pruebas
8.
En
un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron
consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90%
de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos
que en esa ciudad tienen consecuencias fatales.
9. Imaginemos
que hemos tomado una muestra aleatoria de 500 personas, y que les preguntamos
si creen que el Presidente debe dimitir, obteniendo el SÍ un 70%. Estime con una confianza del 90% el
porcentaje de toda la población que diría SÍ.
10.
Una fábrica desea saber la proporción de amas
de casa que preferirían una aspiradora de su marca. Se toma al azar una muestra
de 120 amas de casa y 20 dicen que les gustaría la máquina. Calcule e
interprete un intervalo del 95% de confianza para la verdadera proporción de
amas de casa que preferirían dicha aspiradora.
EJERCICIOS MIXTOS
1.
1. Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una
marca determinada dio un contenido promedio de nicotina de 3 miligramos.
Suponga que el contenido de nicotina de estos cigarrillos sigue una
distribución normal con una desviación estándar de 1 miligramo. Obtenga e
interprete un intervalo de confianza del 95% para el verdadero contenido
promedio de nicotina en estos cigarrillos.
2. El tiempo (en
minutos) que tardaron 36 operarios para familiarizarse con el manejo de
una máquina moderna adquirida por la empresa fue: 3.4, 2.8, 4.4, 2.5, 3.3,
4.0, 4.8, 2.9, 5.6, 5.2, 3.7, 3.0, 3.6, 2.8, 4.8, 5.0, 3.9, 5.6, 8,4, 6.3,
5,4, 2.5, 6.3, 7.4, 5.3, 3.9, 5.5, 6.0, 6.4, 5.4, 6.6, 7.2, 4.9, 5.8, 6.5,
7.9, Suponga que los tiempos se
distribuyen normalmente. Determine e
interprete un intervalo del 95% de confianza para el verdadero tiempo
promedio.
3. Una fábrica desea
saber la proporción de amas de casa que preferirían una aspiradora de su
marca. Se toma al azar una muestra de 100 amas de casa y 20 dicen que les
gustaría la máquina. Calcule e interprete un intervalo del 95% de
confianza para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían
dicha aspiradora.
4. 4. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por
una determinada fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica
de 0,12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60 ladrillos
cuyo peso medio es de 4,07 kilos. Calcular un intervalo de confianza
del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.
5. 5. Una compañía quiere conocer la proporción de
consumidores que adquieren su producto. Encarga a una empresa un estudio de
mercado para obtener un intervalo de confianza al 99% de su proporción de
clientes a partir de una muestra de tamaño 1000. Los resultados Muestrales
arrojaron que 740 de los entrevistados eran clientes de su producto. 6. Se quiere estimar el
resultado de un referendum mediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo
aleatorio simple con n = 100 personas y se obtienen 35% que votarán a favor y
65% que votarán en contra. Con un nivel de confianza del 97 %, calcule un
intervalo de confianza para el verdadero resultado de las elecciones. 7. El gerente de una empresa que comercializa
cerdos desea estimar el peso promedio de los animales a las 25 semanas de edad.
Para hacerlo toma una muestra de 34 cerdos. Los datos en libras fueron
56, 48, 59, 66, 44, 60,
70, 68, 73, 51, 55, 65, 48, 73, 50, 55, 56, 49, 78, 56
66, 60, 62, 63, 58, 51,
71, 75, 65, 55, 43, 46, 70, 60,
Realice la estimación con un 95% de confianza 8. En una muestra aleatoria de 65 personas, de un total de 250 que
laboran en las oficinas gubernamentales, se encontró que 28 sufren estrés.
Estimar el porcentaje de empleados gubernamentales que sufren estrés, con un
94% de confianza.
9. 9. El enorme crecimiento de la industria de la langosta de florida en
los últimos 20 años, la ha colocado en el segundo lugar de la industria
pesquera del estado. Hace algunos anos se supuso que una declaración por el
gobierno de las Bahamas que prohibía a los pescadores de langostas de estados
unidos operar en la parte de la plataforma continental perteneciente a ese
país, reduciría notablemente la cantidad de langosta (en libras) obtenida por
trampa. Para estimar, la captura promedio por trampa se selecciona una muestra
aleatoria de 20 trampas para langostas, desde que la restricción por parte de
Bahamas entro en vigor, dio los siguientes resultados (en libras):
17.4
|
18.9
|
39.6
|
34.4
|
19.6
|
33.7
|
37.2
|
43.4
|
41.7
|
27.5
|
24.1
|
39.6
|
12.2
|
25.5
|
22.1
|
29.8
|
21.7
|
25.8
|
43.9
|
34.4
|
Realizar la estimación con un 99% de confianza. Suponga que el
peso de las langostas se comporta normalmente
10. Una
muestra aleatoria de 50 bicicletas, tomada de un lote de 400, revela que 17 de
ellas tienen los neumáticos desinflados. Estime con un 90% de confianza la
proporción de bicicletas con neumáticos desinflados.
ESTIMACION
CON STUDENT
1.
La cantidad de horas que duermen los
estadounidenses cada noche varÍa mucho. Consideremos la siguiente muestra de
las horas que duermen cada noche 16 personas.
Calcula una
estimación con un 90% de confianza para la media de horas que se duerme cada
noche.
2.
un fabricante
de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de una fibra.
diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura, en libras
de 16 hilos del proceso seleccionados
aleatoriamente. las tensiones son: 20.8
20.6 21.0 20.9
19.9 20.2 19.8 19.6
20.9 21.1 20.4
20.6 19.7 19.6
20.3 y 20.7. estime la tensión
promedio de las fibras con una confianza del 99%
3.
una muestra de 9 frascos de café instantáneo, seleccionados de un
proceso de producción, dio los siguientes resultados para el contenido, medido
en gramos: 285, 291, 265, 270, 279, 288, 290, 279, 287. estime con un 95% de
confianza el peso neto de los frascos de café instantáneo
4.
en un barrio de la ciudad se efectúa un muestreo
para determinar la proporción de familias que poseen un televisor a colores. la
muestra de tamaño 25 indica que 18 tienen tv a colores. realice la estimación
con un 90% de confianza
5.
el gerente de una empresa que comercializa cerdos
desea estimar el peso promedio de los animales a las 25 semanas de edad. para
hacerlo toma una muestra de 15
cerdos, obteniéndose un peso promedio de 84 kilos y desviación estándar de 5
kilos. realice la estimación con un 99% de confianza
6.
una muestra aleatoria de 28 bicicletas, tomada de un lote de 400, revela
que 7 de ellas tienen los neumáticos desinflados. estime con un 99% de
confianza la proporción de bicicletas con neumáticos desinflados.
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