TABLA DISTRIBUCION STUDENT

TABLA DISTRIBUCION STUDENT

UNIDAD 4: ESTIMACIÓN ESTADISTICA

ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Resolver problemas prácticos aplicando la probabilidad básica.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Realizar estimaciones de medias y proporciones con la distribución normal y la distribución student.

JUSTIFICACIÓN:

Hasta ahora hemos visto el diseño de distribuciones sobre la media y la proporción de una población, calculando estimadores puntuales, Sin embargo es necesario analizar otro tipo de estimación, por intervalo. Esta estimación expresa la amplitud dentro de la cual probablemente se encuentre un parámetro poblacional

CONTENIDO:

Al intervalo dentro del cual se espera esté un parámetro poblacional se le denomina intervalo de confianza. Con frecuencia se emplean 3 intervalos el 90%,  95% y el 99%

La interpretación esta dada por la probabilidad de que al repetir el estudio los intervalos definidos contendrán el parámetro con un  % de confianza determinado. De acuerdo a lo anterior no todo intervalo contiene al parámetro poblacional y no exactamente dicho parámetro estará en el % de los intervalos fijado.

El conocimiento de la distribución de medias permite hacer afirmaciones probabilistas acerca del error de muestreo, aunque no se conozca el promedio poblacional. Al determinar el  error estándar de la media y fijar el intervalo de confianza definimos la probabilidad de que la media de una muestra origine un error muestral igual o menor. En otras palabras hay una probabilidad 1- α  de que el valor de la media de muestra origine un error muestral de z_a/2 o menos  

ESTIMACIÓN DE MEDIAS PARA MUESTRAS GRANDES

Dependiendo de si se conoce el valor de s o s se emplean las siguientes relaciones 

Como regla antes de seleccionar la muestra para determinar un estimado de intervalo de la media de población se debe especificar el coeficiente deseado de confianza (1- α)

ESTIMACIÓN DE MEDIAS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS

Para el caso de una muestra pequeña ( n<30)  la distribución del promedio depende del tipo de distribución de la población. Si existen antecedentes de que la población no tiene una distribución normal se recomienda aumentar el tamaño de la muestra (teorema del límite central). Si la población tiene distribución normal  con desviación estándar  poblacional conocida el cálculo del intervalo se realiza según la siguientes expresion:

Ahora, si este parámetro no es conocido es necesario usar la desviación estándar muestral y calcular el intervalo de confianza utilizando una distribución llamada t. El inventor de la distribución t fue William Sealy Gosset, cuyo pseudónimo era Student.

La distribución t es una distribución parecida a la normal, que depende de los llamados grados de libertad. Este parámetro corresponde a n-1, siendo n el tamaño de la muestra. A medida que los grados de libertad aumentan la distribución t se aproxima  una normal. Otra similitud es que en ambas el promedio de la distribución es 0.

ESTIMACIÓN PARA LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN

Siempre que np o n(1-p) sea >5 el empleo de la distribución normal de probabilidades es aplicable para el cálculo de un estimador, en este caso de intervalo. El razonamiento empleado en la estimación del intervalo de la media es aplicable en este caso para determinar el error muestral asociado a proporción muestral con respecto a la poblacional

En la práctica cuando necesitemos tener una aproximación del parámetro poblacional, p, se pueden elegir los siguientes procedimientos:

1. Usar un estimador de una muestra anterior de las misma unidades

2. Hacer un estudio piloto para seleccionar una muestra preliminar de unidades

3. Usar juicio o un estimado mejor del valor de p

4. Si no se aplica alguna alternativa  usar p=0.5

 La decisión de la fórmula a utilizar, se resume en el siguiente diagrama de flujo:

ACTIVIDADES: Resuelva los siguientes ejercicios

ESTIMACIÓN DE MEDIA

1.   Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de automóvil. Se sabe que el diámetro del anillo esta distribuido aproximadamente de manera normal, y que tiene una desviación estándar = 0.001 mm. Una muestra aleatoria de 15 anillos tiene un diámetro promedio de 74.036 mm.

a.    Estime con una confianza del 99%  el diámetro promedio del anillo.

b.    Estime con una confianza del 95%  el diámetro promedio del anillo.

2. Se sabe que la duración, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución aproxima­damente normal, con una desviación estándar de   25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 30 focos, la cual resulta tener una duración promedio de 1014 horas.

a.    Construya un intervalo de confianza del 95% para la duración promedio.

3.    En un estudio hecho para  determinar el tiempo medio necesario para el montaje de cierta pieza de una maquina, 40 trabajadores hicieron un promedio de 42.5 minutos con una desviación típica de 3.8 minutos:

Usar los datos para estimar con una  confianza de   98% el tiempo promedio verdadero necesario para montar la maquina.

4.    Para tratar de estimar la media de consumo por cliente, en un gran restaurante, se reunieron datos de una muestra de 49 clientes durante un periodo de tres semanas. Si la media de la muestra es de $ 22.60 dólares, con desviación estándar de $ 3 dólares, y además se sabe que el total de clientes de de 310, ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de la población?

5.    Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil en la ciudad de Bogotá indica que los automóviles recorren anualmente en promedio   25 000 kilómetros con una desviación estándar de 4000 kilómetros. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 95% para el verdadero recorrido promedio anual.

ESTIMACIÓN DE PROPORCIONES

      6.    En una determinada población se toma una muestra al azar de 256 Personas. De esta muestra, el 20% de las personas lleva gafas graduadas y el resto no. Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional de las personas que llevan gafas graduadas para un nivel de confianza del 95%.

      7.    Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas 

      8.    En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales.

      9.    Imaginemos que hemos tomado una muestra aleatoria de 500 personas, y que les preguntamos si creen que el Presidente debe dimitir, obteniendo el SÍ  un 70%. Estime con una confianza del 90% el porcentaje   de toda la población que diría SÍ. 

     10.    Una fábrica desea saber la proporción de amas de casa que preferirían una aspiradora de su marca. Se toma al azar una muestra de 120 amas de casa y 20 dicen que les gustaría la máquina. Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha aspiradora.

EJERCICIOS MIXTOS

    1.       

           1. Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una marca determinada dio un contenido promedio de nicotina de 3 miligramos. Suponga que el contenido de nicotina de estos cigarrillos sigue una distribución normal con una desviación estándar de 1 miligramo. Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95% para el verdadero contenido promedio de nicotina en estos cigarrillos.

           2. El tiempo (en minutos) que tardaron 36 operarios para familiarizarse con el manejo de una máquina moderna adquirida por la empresa fue: 3.4, 2.8, 4.4, 2.5, 3.3, 4.0, 4.8, 2.9, 5.6, 5.2, 3.7, 3.0, 3.6, 2.8, 4.8, 5.0, 3.9, 5.6, 8,4, 6.3, 5,4, 2.5, 6.3, 7.4, 5.3, 3.9, 5.5, 6.0, 6.4, 5.4, 6.6, 7.2, 4.9, 5.8, 6.5, 7.9,  Suponga que los tiempos se distribuyen normalmente. Determine e interprete un intervalo del 95% de confianza para el verdadero tiempo promedio. 

           3.  Una fábrica desea saber la proporción de amas de casa que preferirían una aspiradora de su marca. Se toma al azar una muestra de 100 amas de casa y 20 dicen que les gustaría la máquina. Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha aspiradora.

    4.    4. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60 ladrillos cuyo peso medio es de 4,07 kilos. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.

    5.      5. Una compañía quiere conocer la proporción de consumidores que adquieren su producto. Encarga a una empresa un estudio de mercado para obtener un intervalo de confianza al 99% de su proporción de clientes a partir de una muestra de tamaño 1000. Los resultados Muestrales arrojaron que 740 de los entrevistados eran clientes de su producto.    6. Se quiere estimar el resultado de un referendum mediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple con n = 100 personas y se obtienen 35% que votarán a favor y 65% que votarán en contra. Con un nivel de confianza del 97 %, calcule un intervalo de confianza para el verdadero resultado de las elecciones.                                     7. El gerente de una empresa que comercializa cerdos desea estimar el peso promedio de los animales a las 25 semanas de edad. Para hacerlo toma una muestra de 34 cerdos. Los datos en libras fueron

56, 48, 59, 66, 44, 60, 70, 68, 73, 51, 55, 65, 48, 73, 50, 55, 56, 49, 78, 56

66, 60, 62, 63, 58, 51, 71, 75, 65, 55, 43, 46, 70, 60,

Realice la estimación con un 95% de confianza                                                                        8. En una muestra aleatoria de 65 personas, de un total de 250 que laboran en las oficinas gubernamentales, se encontró que 28 sufren estrés. Estimar el porcentaje de empleados gubernamentales que sufren estrés, con un 94% de confianza. 

    9.    9. El enorme crecimiento de la industria de la langosta de florida en los últimos 20 años, la ha colocado en el segundo lugar de la industria pesquera del estado. Hace algunos anos se supuso que una declaración por el gobierno de las Bahamas que prohibía a los pescadores de langostas de estados unidos operar en la parte de la plataforma continental perteneciente a ese país, reduciría notablemente la cantidad de langosta (en libras) obtenida por trampa. Para estimar, la captura pro­medio por trampa se selecciona una muestra aleatoria de 20 trampas para langostas, desde que la restricción por parte de Bahamas entro en vigor, dio los siguientes resultados (en libras):

17.4	18.9	39.6	34.4	19.6	33.7	37.2	43.4	41.7	27.5
24.1	39.6	12.2	25.5	22.1	29.8	21.7	25.8	43.9	34.4

Realizar la estimación con un 99% de confianza. Suponga que el peso de las langostas se comporta normalmente 

10. Una muestra aleatoria de 50 bicicletas, tomada de un lote de 400, revela que 17 de ellas tienen los neumáticos desinflados. Estime con un 90% de confianza la proporción de bicicletas con neumáticos desinflados.

ESTIMACION CON STUDENT

      1.    La cantidad de horas que duermen los estadounidenses cada noche varÍa mucho. Consideremos la siguiente muestra de las horas que duermen cada noche 16 personas.

Calcula una estimación con un 90% de confianza para la media de horas que se duerme cada noche.

  

      2.    un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de una fibra. diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura, en libras de  16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. las tensiones son: 20.8  20.6  21.0  20.9  19.9  20.2  19.8 19.6  20.9  21.1  20.4  20.6  19.7  19.6  20.3  y  20.7. estime la tensión promedio de las fibras con una confianza del 99%

 3.    una muestra de 9 frascos de café instantáneo, seleccionados de un proceso de producción, dio los siguientes resultados para el contenido, medido en gramos: 285, 291, 265, 270, 279, 288, 290, 279, 287. estime con un 95% de confianza el peso neto de los frascos de café instantáneo

4.    en un barrio de la ciudad se efectúa un muestreo para determinar la proporción de familias que poseen un televisor a colores. la muestra de tamaño 25 indica que 18 tienen tv a colores. realice la estimación con un 90% de confianza

5.    el gerente de una empresa que comercializa cerdos desea estimar el peso promedio de los animales a las 25 semanas de edad. para hacerlo toma una muestra de 15 cerdos, obteniéndose un peso promedio de 84 kilos y desviación estándar de 5 kilos. realice la estimación con un 99% de confianza

6.    una muestra aleatoria de 28  bicicletas, tomada de un lote de 400, revela que 7 de ellas tienen los neumáticos desinflados. estime con un 99% de confianza la proporción de bicicletas con neumáticos desinflados.

EJERCICIOS DE APROPIACION PROBABILIDAD COMPUESTA

1. Las probabilidades de que, en condiciones de garantía, un automóvil nuevo requiera reparaciones del motor, la transmisión o ambos, son 0.87, 0.36 y 0.29, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto requiera uno o el otro  tipo de reparación durante el período de garantía?         

R = 0.94

2. Un departamento de policía necesita nuevos neumáticos para sus patrullas, y existen 0.17, 0.22, 0.03, 0.29, 0.21 y 0.08 de probabilidades de que adquiera neumáticos de las siguientes marcas: Uniroyal, Goodyear, Michelin, General, Goodrich o Armstrong, respectivamente.  Determine las probabilidades de que compre,

a. neumáticos Goodrich o Goodyear,

b. neumáticos Uniroyal, General o Goodrich,

c. neumáticos Michelin o Armstrong,

d. neumáticos Goodyear, General o Armstrong.

R = a. 0.43  b. 0.67  c. 0.11  d. 0.59

3. La probabilidad de que un balance presente errores en IVA es del 12%, la probabilidad de que presente errores en Retefuente es de 29% y la probabilidad de que tenga ambos tipos de errores es de 7%.

a. ¿Qué probabilidad hay de que un balance presente errores en IVA o en Retefuente?,

b. ¿Qué probabilidad hay de que un balance  no tenga ninguno de tales errores?      

R = a.0.34       b.0.66

4. La probabilidad de que un nuevo aeropuerto obtenga un premio por su diseño es de 0.16, la probabilidad de que obtenga un premio por su eficiente uso de materiales es de 0.24 y la probabilidad de que obtenga ambos premios es de 0.11.  ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga alguno de los dos premios 

R = 0.29 

5. La probabilidad  de que un sistema contable tenga alta fidelidad en los resultados es del 81% y la probabilidad de que tenga alta fidelidad en los resultados y alta facilidad de exportación al mismo tiempo es del  75%. ¿Cuál es la probabilidad de que si un sistema contable tiene alta fidelidad en los resultados, tenga también alta facilidad de exportación?                              

R= 0,9259

6. La probabilidad de que un proyecto de investigación sea correctamente planeado  es de 0.80 y la probabilidad de que sea planeado y correctamente ejecutado es de 0.72, ¿qué probabilidad hay de que si un proyecto de investigación es correctamente planeado, sea correctamente ejecutado?  

R=0.90

7. En una fábrica de confecciones, se sabe por experiencia que la probabilidad de que un obrero de nuevo ingreso que haya asistido al programa de capacitación de la compañía, cumpla la cuota de producción  es de 0.86 y que la probabilidad correspondiente de un obrero de nuevo ingreso que no ha asistido a dicho curso de capacitación es de 0.35. Si 80% de la totalidad de los obreros de nuevo ingreso asisten al curso de capacitación, ¿qué probabilidad existe de que un trabajador de nuevo ingreso cumpla la cuota de producción?    “asistió a la capacitación y cumpla o no asistió a la capacitación y cumpla”    

 R=0.758

8. Con base en experiencias pasadas, un corredor de bolsa considera que bajo las condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una probabilidad de 0.6 en bonos libres de impuesto, en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de 0.15. En este momento, encuentre la probabilidad de que el cliente invierta a. ya sea en bonos libres de impuesto o en fondos mutualistas, b. en ninguno de los dos instrumentos.  

R =a. 0.75  b.0.25

9. Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad de los suburbios, la probabilidad de que el esposo vote en alguna elección  es de 0.21, la de que su esposa lo haga es de 0.28 y la de que ambos voten, de 0.15. ¿Cuál es la probabilidad  de que:

a. Algún miembro de la pareja vote?,

b. vote una esposa dado que su esposo lo hace?,

R =a.0.34  b.0,7143

10. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad en particular es de 0.7. Cuando realice un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una demanda  es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y de que el paciente lo demande?     

R =0.27

11. Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan independientemente. La probabilidad de que un vehículo específico esté disponible  cuando se necesite es de 0.96.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible en caso necesario?,

b. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno lo esté cuando se le necesite?                                             

R =a.0.0016  b.0.9984

12. Tomás y Nancy son esposos. La probabilidad de que Tomas sobreviva 20 años más es de 0.7 y la de que Nancy lo haga  de 0.9. Sí se supone independencia para ambos,          

a. ¿cuál es la probabilidad de que ambos sobrevivan 20 años?   

b ¿cuál es la probabilidad de que ninguno sobreviva 20 años?

R:  a. = 0.63   b. = 0.03

13.  La probabilidad de que Juan apruebe el curso de estadística es de un 80% y la de patricia es de un 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos aprueben el curso?  

R= 0,68

14. En una bolsa hay 3 bolitas rojas y 5 negras. Determinar la probabilidad de que al sacar una bolita ésta sea roja y luego, sin devolver la bolita a la bolsa, que al sacar la siguiente, sea negra 

R= 0,2679

 15. Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3 blancas, 5 negras y 4 rojas. se toma una bola al azar de cada caja. ¿Qué probabilidad hay de que sean del mismo color?  

R=0,3426

       16.  la probabilidad de acertar en un blanco de un disparo se estima en 0,2. Calcular la probabilidad de acertar en cada uno de dos disparos realizados

    

    R =0,04

 17.  la probabilidad de que un hombre viva más de 25 años es del 60% , la de una mujer es de 

        65%. se pide:

a)      la probabilidad de que ambos vivan más de 25 años.  R=0,39

b)      la probabilidad de que sólo viva más de 25 años el hombre.  R=0,21

c)       la probabilidad de que sólo viva más de 25 años la mujer. R=0,26

 18.  En una finca se tiene una planta eléctrica conformada por un motor y un generador eléctrico, en un mes cualquiera la probabilidad de que el motor falle es del 5% y de que el generador falle es del 6%. Cuál es la probabilidad que durante un mes dado, la planta eléctrica completa (motor y generador) necesite reparación. 

R=0,003

 19. Una caja contiene 15  tarjetas de Kardex, 12 correctamente diligenciadas  y 3 con errores. Se extraen de la caja, de una en una, 3 tarjetas de manera aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga errores?   

R=0,4835

20. Los alumnos de contabilidad  tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno  apruebe alguno de los dos exámenes?   R= 0,9
2. Si un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica?   R= 0,8333

21   En una galería de tiro, suponga que Juan, Pedro y María hacen cada uno un tiro a un blanco. La probabilidad de que Juan acierte al blanco es de 0.8, y para Pedro 0.6  y para María de 0.7. Suponga independencia y encuentre:

a. La probabilidad de que todos ellos den en el blanco.

b. La probabilidad de que ninguno de ellos dé en el blanco.

c. La probabilidad de que María sea la única que dé en el blanco.

c. La probabilidad de que exactamente uno de ellos dé en el blanco.

22.  En una ciudad el 55% de los economistas son hombres, el 30% tiene título de maestría y el 20% son economistas hombres con título de maestría. Se pide:
a) Si un economista es hombre, ¿cuál es la probabilidad de tenga título de maestría?
b) Si un economista tiene título de maestría, ¿cuál es la probabilidad de que  sea hombre?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un economista de esta ciudad sea hombre o tenga título de maestría?

PROBABILIDAD BASICA

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Resolver problemas de la vida cotidiana aplicando los conceptos y procedimientos de la teoría de la probabilidad básica.

CONTENIDO:

PROBABILIDAD BÁSICA

La probabilidad es la parte de la estadística que estudia situaciones en las cuales no se puede saber con anterioridad los resultados que se van a presentar.

Si volteamos a nuestro alrededor nos daremos cuenta que nuestra vida está llena de afirmaciones que llevan implícito el concepto de probabilidad, como por ejemplo: los pronósticos meteorológicos nos indican las probabilidades de lluvia; los médicos nos dicen qué probabilidades hay de que nuestras enfermedades se curen por medio de determinados tratamientos terapéuticos; los profesores, en la universidad, especulan sobre nuestras posibilidades de éxito en el semestre; un apostador, la posibilidad de ganar el primer premio de la lotería, etc.

Conceptos básicos

CONCEPTO 1: EXPERIMENTO ALEATORIO

Un experimento es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza.: Los experimentos se llaman Determinísticos  cuando no hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá cuando éstos son repetidos varias veces; y se denominan Experimentos Aleatorios aquellos en donde no se puede anticipar de antemano el resultado que ocurrirá, pero sí se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimento cuando este es ejecutado, es decir, se conoce el conjunto de los posibles resultados que pueda tener.

CONCEPTO 2: ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa con S y cada elemento de él es llamado un punto muestral. 

CONCEPTO 3: EVENTOS: Un Evento o Suceso es un resultado particular de un experimento aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto. Los eventos se clasifican en:

Evento o Suceso Simple: Se presenta cuando el evento solo está constituido por un único elemento del espacio muestral.

Evento o Suceso Nulo: Es aquel que no tiene elementos. Se representa por Æ.

Evento o Suceso Seguro: Se presenta cuando el espacio muestral es considerado como un evento, esto es posible puesto que según la teoría de conjuntos, todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Evento o Suceso Compuesto: Son llamados eventos compuestos aquellos que se componen de dos o más eventos simples.

Por ejemplo: Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

1. Lanzar tres monedas.
2. Lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
3. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
4. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

Solución:

1. Llamando C a obtener cara y S a la obtención de sello, obtenemos el siguiente espacio muestral:

E={(CCC),(CCS),(CSC),(SCC),(CSS),(SCS),(SSC),(SSS)}

2. E={ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }
3. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

E={BB,BN,NN}

4. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:

E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

Por ejemplo: Un experimento aleatorio consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto.

a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra "s" para las respuestas afirmativas y "n" para las negativas. 

b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"?

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Por ejemplo:

1. Consideremos el experimento aleatorio "lanzar una moneda y mirar el resultado". Se pide: 

a) Describe el Espacio Muestral
b) Todos los sucesos posibles
c) Los sucesos elementales
d) El suceso contrario a "sacar sello"
e) El suceso seguro

f) Un posible suceso nulo

2. En el experimento aleatorio "lanzar dos monedas" se pide:
a) Espacio Muestral
b) Todos los sucesos posibles
c) Todos los sucesos elementales

d)  El evento obtener al menos una cara

e)  El evento complemento del anterior

3. Describe el Espacio Muestral correspondiente al experimento aleatorio "lanzar dos dados y anotar la suma de puntos", y halla el cardinal de los siguientes eventos.

A = { la suma de puntos es divisible por 3} =                                           

B = { la suma de puntos es divisible por 5 }=                                          
C = { la suma de puntos es impar } =                                                                     

D = { la suma de puntos es par } =                                                                          

E=  { la suma de puntos mayor que 15 } =                                                              

F=  { la suma de puntos es al menos 9 } =                                                            

G=  { la suma de puntos es máximo 7 } =                                                               

H= { la suma de puntos es a lo sumo 5 } =                                                             

I=  { la suma de puntos es como mínimo 7 } =                                                        

J= { la suma de puntos es mayor que 6 } =                                                             
L=  { la suma de puntos es mayor o igual a 6 } =                                                    
M= { la suma de puntos es entre 6 y 8 } =       
                                                        

CALCULO DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO

Existen 3 formas de calcular o estimar la probabilidad de un evento a saber:

El enfoque clásico , que se emplea cuando los espacios muestrales tienen resultados igualmente probables ; el enfoque empírico basado en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de ensayos repetidos y el enfoque subjetivo que utiliza estimaciones personales de las probabilidades basado en el grado de confianza acerca de eventos que nunca han ocurrido.

PROBABILIDAD CLÁSICA

Se considera que todos los eventos o todos los espacios muestrales son equiprobables, es decir, que tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Generalmente un espacio equiprobable se identifica al decir que la escogencia de cualquier elemento es aleatoria o al azar.

La probabilidad de un evento A se calcula así:

Esta expresión se conoce con el nombre de regla de Laplace

PASOS PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD

1.Determine el experimento aleatorio del problema

2.Determine el espacio muestral y su cardinal

3.Determine el evento al cual se le quiere hallar su probabilidad de ocurrencia; se encuentra en la pregunta del problema; y su cardinal

4.Aplique la Regla de Laplace

Nota: Para hallar el cardinal del espacio muestral y del cardinal del evento, según las características del problema, se pueden utilizar las técnicas de conteo. 

Por ejemplo:

Por ejemplo: Hay 97 canicas en una bolsa, 68 son verdes y el resto rojas. Si se escoge aleatoriamente una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Experimento aleatorio: Sacar una canica de una bolsa que tiene 87

Espacio muestral: S={ Las canicas de la bolsa}       nS=87

Evento: E={ Las canicas verdes}        nE=68

Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar una bola verde es:

Por lo tanto, la probabilidad de sacar la bola verde es de 0.7010, o también se puede decir que es del 70,10%

Por ejemplo:

1) El equipo de billar de la Universidad, está formado por 5 estudiantes de tercer semestre, 4 de segundo semestre y 3 de primer semestre. Se elige un estudiante al azar para ser capitán del equipo, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea: 

a)    de segundo semestre

Experimento aleatorio:

Espacio muestral:

Evento:

b)    de quinto semestre

Experimento aleatorio:

Espacio muestral:

Evento:

c) de primer o segundo semestre

Experimento aleatorio:

Espacio muestral:

Evento:

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD

1.    La probabilidad de un evento es un valor comprendido entre cero y uno

Este axioma es evidente, puesto que siendo el evento E un subconjunto del espacio muestral S, el cardinal de E siempre será menor o igual al cardinal de S, por lo que al establecer el cociente entre ellos, el resultado siempre será menor que 1. Tampoco podrá tomar valores negativos, puesto que el cardinal de un conjunto siempre es un valor entero no negativo, por lo que nE y nS no serán nunca negativos.

2. La probabilidad de un suceso seguro es 1. Este caso se presenta cuando el cardinal del evento es igual al cardinal del espacio muestral

3.    La probabilidad de un evento imposible es cero. En este caso el cardinal del evento es cero y al dividirse entre el cardinal del espacio muestral el resultado será cero.

4.    Todo evento E tiene un evento complementario E’, tal que   E+E’= S, entonces las probabilidades de E y E’ son también complementarias, es decir

Por lo que se puede concluir que

5.    La  suma de las probabilidades de todos los eventos simples posibles del espacio muestral es igual a 1

Por ejemplo, en el experimento aleatorio “Lanzamiento de un dado”, los resultados posibles son:  

S={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 },

los eventos simples son:

E₁={ 1 }; E₂={ 2 }; E₃={ 3 }; E₄={ 4 }; E₅={ 5 }; E₆={ 6 };  

entonces:

EJEMPLOS:

1.  Una mercaderista tiene 3 productos diferentes (A, B y C) para exhibir en una góndola de un supermercado, si los ubica de manera aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que en el primer lugar quede el producto A?

Solución: Como el orden es fundamental para poner ubicar los productos, debemos utilizar las permutaciones para hallar el número de ordenaciones totales

Experimento aleatorio: ubicar tres productos diferentes en una góndola 

Espacio muestral: { todas las formas en que se pueden ubicar los tres productos en una góndola}

Para hallar nS, o los casos posibles, debemos resolver ¿de cuantas formas tres productos (A,B, C) se pueden exhibir en una góndola?.

Siendo una permutación total sin repetición hallamos nS

Para hallar nE, debemos encontrar de cuántas formas se pueden ordenar los tres productos   de tal manera que el producto A quede ubicado de primero. en este caso tenemos tambien una permutación con condición, entonces nos ayudamos de una gráfica así:

por lo tanto 

Entonces, la probabilidad buscada es

Por lo tanto, la probabilidad de que en el primer lugar aquede ubicado el producto A es de 0.3333 o del 33.33%

2 ¿Cual es la probabilidad de que un automóvil que va a comprar, tenga en la placa las iniciales de su nombre?

3.  Un distribuidor de computadoras tiene una lista con 10 clientes naturales y 5 jurídicos; si se toma una muestra de 4 clientes. Hallar la probabilidad de que sean todos clientes jurídicos

4. Se sacan al azar tres bolas de una caja que contiene 20 rojas, 10 blancas, 30 azules y 15 naranja. Hallar la probabilidad de que  las bolas extraídas sean:

a)    Rojas

b)    Del mismo color

ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN: Resuelva los siguientes problemas.

1. La compañía farmacéutica A suministró 300 unidades de un medicamento de las cuales 10 eran defectuosas; la compañía B entregó 100 unidades de las que había 20 defectuosas y la compañía C entregó 200 unidades de las que 25 eran defectuosas. Se almacenaron todas las unidades de forma que se mezclaron aleatoriamente. Se toma una unidad al azar y se pide calcular:

a) Probabilidad de que sea de la compañía A.

b) Probabilidad de que sea de la compañía B

c) Probabilidad de que sea de C y defectuosa.

d) Probabilidad de que sea de A y buena.

e) Probabilidad de que sea buena.

f) Probabilidad de que sea defectuosa.

2. Se dispone de 8 personas, 5 hombres y 3 mujeres, para formar un comité de 5 personas. Si se selecciona el comité al azar, cual es la probabilidad de que el comité quede conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

3. Se tienen 6 máquinas de escribir y 6 personas para operar las máquinas, de las cuales hay una que es experta en digitación, mientras que las demás son principiantes. Si se hace la asignación al azar, cual es la probabilidad de que la experta quede asignada a la primera o en la última máquina?

4. Se planea una rifa en la cual el número ganador tiene tres cifras acompañado de una serie de 15 números.  Cada una de las boletas tiene cuatro oportunidades. Una persona compra 10 boletas, cual es la probabilidad de que esta persona gane la rifa?

5. Una urna contiene 10 bolas, 6 blancas y 4 negras. Si se sacan tres bolas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean de un mismo color?

6. Suponga que tiene ocho libros para ordenar en la biblioteca en la cual  solo hay tres espacios disponibles, si se ordenan al azar, cual es la probabilidad de que quede ubicado en la biblioteca su libro favorito?

7. En una escuela  imparte clase la maestra Betty. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por 15 niñas y 12 niños. Betty propone a los niños formar una mesa directiva del grupo formada por cinco de ellos. La mesa directiva estaría formada por un presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales.

A) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras niñas?

B) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros niños? 

C) ¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre todos los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y tesorero sean niños y las dos vocales niñas?

8. En una caja que contiene pelotas: ocho rojas, diez blancas, doce azul, 15 amarilla, 25 naranja, se hace una sola extracción, cual es la probabilidad de que en esa extracción se saque:

a) una pelota amarilla

b) una roja

c) una azul o amarilla o naranja

d) no blanca, no amarilla

9. Cuál es la probabilidad de que el número de su cédula ( de 8 dígitos), empiece y termine en número par, no empezando por cero.

10. se tienen 10 monedas, 5 iguales de 100 pesos, tres iguales de 200 pesos y dos iguales de 500 pesos, se ordenan al azar el fila, cual es la probabilidad de que la primera y la ultima monedas sean de 500 pesos.

11.  Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber:

a)      La probabilidad de que las tres sean rojas.

b)      La probabilidad de que dos sean rojas y una verde.

c)       La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.

d)      La probabilidad de que todas sean de distinto color.

e)      La probabilidad de que todas sean del mismo color.

12. En un concesionario hay cinco automóviles para la venta, de diferentes colores: rojo, verde, azul, negro y gris. Para promocionarlos se deben ubicar en fila frente a la vitrina. Cual es la probabilidad de que queden:

a) Primero el rojo

b) Primero el negro y de último el gris

c) Exactamente en este orden: Verde, azul, gris, rojo y negro.