COMPETENCIAS
A DESARROLLAR
Resolver problemas de la vida cotidiana aplicando los conceptos y procedimientos de la teoría de la probabilidad básica.
CONTENIDO:
PROBABILIDAD
La
probabilidad es la parte de la estadística que estudia situaciones en las
cuales no se puede saber con anterioridad los resultados que se van a
presentar.
Si
volteamos a nuestro alrededor nos daremos cuenta que nuestra vida está llena de
afirmaciones que llevan implícito el concepto de probabilidad, como por
ejemplo: los pronósticos meteorológicos nos indican las probabilidades de
lluvia; los médicos nos dicen qué probabilidades hay de que nuestras
enfermedades se curen por medio de determinados tratamientos terapéuticos; los
profesores, en la universidad, especulan sobre nuestras posibilidades de éxito
en el semestre; un apostador, la posibilidad de ganar el primer premio de la
lotería, etc.
Conceptos
básicos
CONCEPTO 1: EXPERIMENTO ALEATORIO
Un experimento es una observación
de un fenómeno que ocurre en la naturaleza.: Los experimentos se llaman Determinísticos cuando no hay incertidumbre acerca del
resultado que ocurrirá cuando éstos son repetidos varias veces; y se denominan Experimentos Aleatorios aquellos
en donde no se puede anticipar de antemano el resultado que ocurrirá, pero sí se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles del
experimento cuando este es ejecutado, es decir, se conoce el conjunto de los
posibles resultados que pueda tener.
CONCEPTO 2:
ESPACIO MUESTRAL: Es
el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa
con S y cada elemento de él es llamado un punto muestral.
CONCEPTO 3: EVENTOS: Un Evento o Suceso es un resultado particular de un experimento
aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio
muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto.
Los eventos se clasifican en:
Evento o Suceso Simple: Se presenta
cuando el evento solo está
constituido por un único elemento del espacio muestral.
Evento o Suceso Nulo: Es aquel que no tiene
elementos. Se representa por Æ.
Evento o Suceso Seguro: Se presenta cuando el espacio muestral es
considerado como un evento, esto es posible puesto que según la teoría de
conjuntos, todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Evento
o Suceso Compuesto:
Son llamados eventos compuestos aquellos que se componen de dos o más eventos
simples.
Por ejemplo: Describe
el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos
aleatorios:
- Lanzar tres monedas.
- Lanzar dos dados y anotar la suma de los
puntos obtenidos.
- Extracción de dos bolas de una urna que
contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
- El tiempo, con relación a la lluvia, que hará
durante tres días consecutivos.
Solución:
- Llamando C a obtener cara y S a la obtención de
sello, obtenemos el siguiente espacio muestral:
E={(CCC),(CCS),(CSC),(SCC),(CSS),(SCS),(SSC),(SSS)}
- E={ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }
- Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola
negra, tenemos:
E={BB,BN,NN}
- Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia,
para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}
Por
ejemplo: Un experimento aleatorio consiste en preguntar a tres
personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un
determinado producto.
a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra "s" para las respuestas afirmativas y "n" para las negativas.
b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"?
a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra "s" para las respuestas afirmativas y "n" para las negativas.
b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Por
ejemplo:
1.
Consideremos el experimento aleatorio "lanzar una moneda y mirar el
resultado". Se pide:
a) Describe el Espacio Muestral
b) Todos los sucesos posibles
c) Los sucesos elementales
d) El suceso contrario a "sacar sello"
e) El suceso seguro
a) Describe el Espacio Muestral
b) Todos los sucesos posibles
c) Los sucesos elementales
d) El suceso contrario a "sacar sello"
e) El suceso seguro
f) Un
posible suceso nulo
2. En el experimento aleatorio "lanzar dos monedas" se pide:
a) Espacio Muestral
b) Todos los sucesos posibles
c) Todos los sucesos elementales
d) El evento obtener al menos una cara
e) El evento complemento del anterior
3.
Describe el Espacio Muestral correspondiente al experimento aleatorio
"lanzar dos dados y anotar la suma de puntos", y halla el cardinal de los siguientes eventos.
A
= { la suma de puntos es divisible por 3} =
B
= { la suma de puntos es divisible por 5 }=
C = { la suma de puntos es impar } =
C = { la suma de puntos es impar } =
D
= { la suma de puntos es par } =
E= { la suma de puntos mayor que 15 } =
F= { la suma de puntos es al menos 9 } =
G= { la suma de puntos es máximo 7 } =
H=
{ la suma de puntos es a lo sumo 5 } =
I= { la suma de puntos es como mínimo 7 } =
J=
{ la suma de puntos es mayor que 6 } =
L= { la suma de puntos es mayor o igual a 6 } =
M= { la suma de puntos es entre 6 y 8 } =
L= { la suma de puntos es mayor o igual a 6 } =
M= { la suma de puntos es entre 6 y 8 } =
CALCULO
DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO
Existen
3 formas de calcular o estimar la probabilidad de un evento a saber:
El
enfoque clásico , que se emplea cuando los espacios muestrales tienen
resultados igualmente probables ; el enfoque empírico basado en la frecuencia
relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de ensayos
repetidos y el enfoque subjetivo que utiliza estimaciones personales de las
probabilidades basado en el grado de confianza acerca de eventos que nunca han
ocurrido.
PROBABILIDAD
CLÁSICA
Se considera que todos los eventos o todos los espacios muestrales son
equiprobables, es decir, que tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Generalmente un espacio equiprobable se identifica al decir que la escogencia
de cualquier elemento es aleatoria o al azar.
La
probabilidad de un evento A se calcula así:
PASOS PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD
Nota: Para hallar el cardinal del espacio muestral y del cardinal del evento, según las características del problema, se pueden utilizar las técnicas de conteo.
Por ejemplo:
Esta
expresión se conoce con el nombre de regla de Laplace
PASOS PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD
1.Determine el experimento
aleatorio del problema
2.Determine el espacio
muestral y su cardinal
3.Determine el evento al cual
se le quiere hallar su probabilidad de ocurrencia; se encuentra en la pregunta
del problema; y su cardinal
4.Aplique la Regla de Laplace
Nota: Para hallar el cardinal del espacio muestral y del cardinal del evento, según las características del problema, se pueden utilizar las técnicas de conteo.
Por ejemplo:
Por
ejemplo: Hay 97 canicas en una bolsa,
68 son verdes y el resto rojas. Si se escoge aleatoriamente una, ¿cuál es la
probabilidad de que esta sea verde?
Experimento aleatorio: Sacar una canica de una bolsa que tiene 87
Espacio muestral: S={
Las canicas de la bolsa} nS=87
Evento: E={
Las canicas verdes} nE=68
Por
lo tanto, la probabilidad de seleccionar una bola verde es:
Por lo tanto, la probabilidad de sacar la bola verde es de 0.7010, o también se puede decir que es del 70,10%
Por
ejemplo:
1)
El equipo de billar de la Universidad, está formado por 5 estudiantes de tercer
semestre, 4 de segundo semestre y 3 de primer semestre. Se elige un estudiante
al azar para ser capitán del equipo, ¿Cuál es la probabilidad de que el
estudiante seleccionado sea:
a)
de
segundo semestre
Experimento aleatorio:
Espacio muestral:
Evento:
b)
de
quinto semestre
Experimento aleatorio:
Espacio muestral:
Evento:
c)
de primer o segundo semestre
Experimento aleatorio:
Espacio muestral:
Evento:
AXIOMAS
DE LA PROBABILIDAD
1. La probabilidad de un
evento es un valor comprendido entre cero y uno
Este axioma es evidente,
puesto que siendo el evento E un subconjunto del espacio muestral S, el
cardinal de E siempre será menor o igual al cardinal de S, por lo que al
establecer el cociente entre ellos, el resultado siempre será menor que 1.
Tampoco podrá tomar valores negativos, puesto que el cardinal de un conjunto
siempre es un valor entero no negativo, por lo que nE y nS no serán nunca
negativos.
2. La
probabilidad de un suceso seguro es 1. Este caso se presenta cuando el cardinal
del evento es igual al cardinal del espacio muestral
3.
La
probabilidad de un evento imposible es cero. En este caso el cardinal del
evento es cero y al dividirse entre el cardinal del espacio muestral el
resultado será cero.
4.
Todo
evento E tiene un evento complementario E’, tal que E+E’= S, entonces las probabilidades de E y
E’ son también complementarias, es decir
Por
lo que se puede concluir que
5.
La suma de las probabilidades de todos los
eventos simples posibles del espacio muestral es igual a 1
Por
ejemplo, en el experimento aleatorio “Lanzamiento de un dado”, los resultados
posibles son:
S={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 },
los eventos simples son:
E1={
1 }; E2={ 2 }; E3={ 3 }; E4={ 4 }; E5={
5 }; E6={ 6 };
entonces:
EJEMPLOS:
1. Una mercaderista tiene 3
productos diferentes (A, B y C) para exhibir en una góndola de un supermercado, si los ubica de manera aleatoria,
¿cuál es la probabilidad de que en el primer lugar quede el producto A?
Solución:
Como el orden es fundamental para poner ubicar los
productos, debemos utilizar las permutaciones para hallar el número de
ordenaciones totales
Experimento aleatorio: ubicar tres productos diferentes en una góndola
Espacio muestral: { todas las formas en que se pueden ubicar los tres productos en una góndola}
Para hallar nS, o los casos posibles, debemos resolver ¿de cuantas formas tres productos (A,B, C) se pueden exhibir en una góndola?.
Siendo una permutación total sin repetición hallamos nS
Para hallar nE, debemos encontrar de cuántas formas se pueden ordenar los tres productos de tal manera que el producto A quede ubicado de primero. en este caso tenemos tambien una permutación con condición, entonces nos ayudamos de una gráfica así:
por lo tanto
Entonces, la probabilidad buscada es
Por lo tanto, la probabilidad de que en el primer lugar aquede ubicado el producto A es de 0.3333 o del 33.33%
2 ¿Cual es la probabilidad de que un automóvil que va a comprar, tenga en la
placa las iniciales de su nombre?
3. Un distribuidor de
computadoras tiene una lista con 10 clientes naturales y 5 jurídicos; si se
toma una muestra de 4 clientes. Hallar la probabilidad de que sean todos
clientes jurídicos
4. Se sacan al azar tres bolas
de una caja que contiene 20 rojas, 10 blancas, 30 azules y 15 naranja. Hallar
la probabilidad de que las bolas
extraídas sean:
a) Rojas
b) Del mismo color
ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN: Resuelva los siguientes problemas.
1. La compañía
farmacéutica A suministró 300 unidades de un medicamento de las cuales 10 eran
defectuosas; la compañía B entregó 100 unidades de las que había 20 defectuosas
y la compañía C entregó 200 unidades de las que 25 eran defectuosas. Se
almacenaron todas las unidades de forma que se mezclaron aleatoriamente. Se
toma una unidad al azar y se pide calcular:
a) Probabilidad de
que sea de la compañía A.
b) Probabilidad de
que sea de la compañía B
c) Probabilidad de
que sea de C y defectuosa.
d) Probabilidad de
que sea de A y buena.
e) Probabilidad de
que sea buena.
f) Probabilidad de
que sea defectuosa.
2.
Se dispone de 8 personas, 5 hombres y 3 mujeres, para formar un comité de 5
personas. Si se selecciona el comité al azar, cual es la probabilidad de que el
comité quede conformado por 3 hombres y 2 mujeres?
3.
Se tienen 6 máquinas de escribir y 6 personas para operar las máquinas, de las
cuales hay una que es experta en digitación, mientras que las demás son
principiantes. Si se hace la asignación al azar, cual es la probabilidad de que
la experta quede asignada a la primera o en la última máquina?
4. Se planea una rifa en la
cual el número ganador tiene tres cifras acompañado de una serie de 15
números. Cada una de las boletas tiene
cuatro oportunidades. Una persona compra 10 boletas, cual es la probabilidad de
que esta persona gane la rifa?
5.
Una urna contiene 10 bolas, 6 blancas y 4 negras. Si se sacan tres bolas al
azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean de un mismo color?
6.
Suponga que tiene ocho libros para ordenar en la biblioteca en la cual solo hay tres espacios disponibles, si se
ordenan al azar, cual es la probabilidad de que quede ubicado en la biblioteca
su libro favorito?
7.
En una escuela imparte clase la maestra
Betty. Ella es feliz enseñando al grupo de tercer grado, que está compuesto por
15 niñas y 12 niños. Betty propone a los niños formar una mesa directiva del
grupo formada por cinco de ellos. La mesa directiva estaría formada por un
presidente, un secretario, un tesorero, y dos vocales.
A)
¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre
todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puras
niñas?
B)
¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre
todos los integrantes del grupo de tercer grado, quede integrada por puros
niños?
C)
¿Cuál es la probabilidad, si se selecciona la mesa directiva al azar entre
todos los integrantes del grupo de tercer grado, el presidente, secretario y
tesorero sean niños y las dos vocales niñas?
8. En una caja que contiene pelotas: ocho rojas, diez blancas,
doce azul, 15 amarilla, 25 naranja, se hace una sola extracción, cual es la
probabilidad de que en esa extracción se saque:
a) una pelota amarilla
b) una roja
c) una azul o amarilla o naranja
d) no blanca, no amarilla
9. Cuál es la probabilidad de que el número de
su cédula ( de 8 dígitos), empiece y termine en número par, no empezando por
cero.
10.
se tienen 10 monedas, 5 iguales de 100 pesos, tres iguales de 200 pesos y dos
iguales de 500 pesos, se ordenan al azar el fila, cual es la probabilidad de
que la primera y la ultima monedas sean de 500 pesos.
11. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6
verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber:
a)
La probabilidad de que las tres sean rojas.
b)
La probabilidad de que dos sean rojas y una verde.
c)
La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.
d)
La probabilidad de que todas sean de distinto color.
e)
La probabilidad de que todas sean del mismo color.
12. En un concesionario hay
cinco automóviles para la venta, de diferentes colores: rojo, verde, azul,
negro y gris. Para promocionarlos se deben ubicar en fila frente a la vitrina.
Cual es la probabilidad de que queden:
a) Primero el rojo
b) Primero el negro y de
último el gris
c) Exactamente en este
orden: Verde, azul, gris, rojo y negro.
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