CLASE 1. TÉCNICAS DE CONTEO

TÉCNICAS DE CONTEO

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Resolver problemas prácticos aplicando las técnicas de conteo y la probabilidad simple.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Aplicar las técnicas de conteo en la resolución de problemas prácticos

JUSTIFICACIÓN:

Antes de iniciar al estudio de la Teoría de la Probabilidad, es necesario recordar algunos conceptos y procedimientos matemáticos, conocidos como Análisis Combinatorio, que servirán posteriormente para hacer aplicaciones muy interesantes.

Es muy común encontrarse situaciones que llevan implícito el problema de establecer cuántos elementos de un conjunto dado  satisfacen una determinada característica. Por ejemplo, cuando el gobierno decidió cambiar las placas de los automóviles en el territorio nacional, lo hizo para aumentar la cantidad de estos que pueden ser matriculados, pero, ¿en qué momento se hará necesario de nuevo modificar la codificación de las placas?.

Primero deberíamos establecer ¿Cuántas placas diferentes pueden generarse actualmente?, así sabríamos el límite máximo de placas o de automóviles que pueden matricularse con las características actuales, por lo tanto, al superarse este número, se haría necesaria la modificación de tales características que permita ampliar el límite.

CONTENIDO:

COMBINACIONES

Las Combinaciones de n elementos tomados de r en r, son los diferentes grupos de tamaño r que pueden formarse con los n elementos dados, de modo que dos grupos difieren entre sí cuando, al menos, un elemento es distinto, de tal forma que el orden en que se dispone no importa.

El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r mediante el siguiente símbolo

 o también se puede simbolizar nCr, y se halla mediante la siguiente expresión:

EJEMPLO:

1. ¿Cuántas juntas directivas de 5 personas se pueden formar con 12 miembros de una organización?

SOLUCIÓN: Como se habla de una junta directiva, sin importar el orden de la elección de las personas, podemos concluir que se busca es un grupo de cinco personas (r), para formarse de un total de 12 (n). Por lo tanto:

COMBINACIONES MIXTAS

En este caso, se tiene un conjunto de elementos, de los cuales hay dos o más clases diferentes, y se requiere formar grupos de elementos de tamaño n, que también tengan clases diferentes, por ejemplo:

SOLUCIÓN: Hay cuatro contadores y tres administradores en una compañía. Se va a seleccionar un grupo para recibir una capacitación especial en estadística. Cuántos grupos distintos de tres profesionales se pueden formar de tal manera que haya dos contadores y un administrador.

En total se tiene un conjunto de 7 profesionales, donde 4 son contadores y 3 administradores; es decir, dos clases diferentes. Se quiere formar un grupo de 3 personas donde 2 sean contadores y uno sea administrador, es decir, un grupo donde también se presentan las clases.

La manera de encontrar el resultado consiste en formar el grupo de contadores a asistir a la capacitación  con los 4 contadores que se tienen, y el grupo de administradores a asistir a la capacitación con los 3 administradores; relacionados estos con el principio de la

multiplicación.

PERMUTACIONES

Los arreglos o permutaciones son útiles para contar el número de todos los diferentes arreglos u ordenamientos que se pueden hacer con un conjunto de objetos. Podemos utilizar el concepto de permutación para determinar el número de formas en que se les pueden asignar a los alumnos los asientos de una clase, el número de formas que se pueden sentar en un escenario un grupo de conferencistas, el número de maneras en que se puede organizar un grupo de libros en un anaquel, etc.  Los tipos de permutaciones son:

EJEMPLOS

1. Se proyecta presentar cinco presentaciones en una exposición de Semilleros de Investigación en la Universidad. El moderador del programa desea saber cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario los cinco expositores en fila.

SOLUCIÓN: Cada una de estas maneras diferentes son las posibles permutaciones o arreglos, por lo que el moderador, en realidad, lo que quiere saber es el número de permutaciones de cinco objetos tomados todos a la vez. Visualicemos las cinco sillas (S) en el escenario.

Para ocupar la primera silla existen cinco expositores, es decir, cualquiera de los cinco puede ocupar ese primer lugar.

Para ocupar la segunda silla existen cuatro expositores posibles, pues ya la primera fue ocupada por un expositor

Para ocupar la tercera silla existen tres expositores, pues ya hay dos sillas ocupadas por dos expositores

Para ocupar la cuarta silla existen dos expositores y

Para ocupar la quinta silla existe o queda sólo un expositor, entonces, habrá…

2. Un vendedor de autos tiene siete modelos para exhibir en un aparador, pero éste sólo tiene espacios para cinco autos. ¿Cuántas muestras diferentes puede exhibir?

SOLUCIÓN: El aparador sólo tiene lugar para cinco autos de los siete que existen, es decir únicamente puede utilizar muestras de cinco en cinco. Entonces debe de buscar el número de permutaciones de siete objetos, tomados de cinco en cinco. Recuerda que el primer espacio se ocupar de siete distintas maneras, el segundo espacio de seis maneras distintas y así sucesivamente, hasta el quinto espacio que se puede ocupar de tres maneras distintas, entonces; las muestras posibles son:

3. En la biblioteca, sobre una mesa, hay ocho libros: tres iguales de Estadística, tres iguales de Contabilidad y dos iguales de Costos. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar, si se quiere hacer una fila sobre la mesa con estos libros?

SOLUCIÓN: En este ejemplo se tienen 8 objetos (n) de los cuales algunos son iguales entre sí, hay tres libros de Estadística iguales (r₁), tres de Contabilidad iguales (r₂) y dos de Costos iguales (r₃). Para calcular el número de permutaciones o arreglos con elementos repetidos, se utiliza la siguiente expresión:

4. ¿Cuántas placas de auto existen que consta de tres letras y tres cifras en ese orden. 

SOLUCIÓN: El número de dígitos que se puede utilizar en la placa será

27×27×27×10×10×10= 19683000

5. ¿Cuántas placas de auto existen que consten de dos letras y tres cifras en ese orden, si la primera letra es A y la segunda letra puede ser de la A a la F?

SOLUCIÓN: